Diketahui vektor \( \vec{a} = -4x \hat{i} + 2 \hat{j} \) dan \( \vec{b} = 3 \hat{i} + x \hat{j} \) di mana \( x \) bulat positif. Vektor \( \vec{p} \) merupakan proyeksi \( \vec{a} \) ke \( \vec{b} \) dan \( \alpha \) adalah sudut yang dibentuk oleh \( \vec{a} \) dan \( \vec{p} \). Jika konstanta \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \), maka \( \vec{p} = \cdots \) (SNMPTN 2008)
- \( 3 \hat{i} + \hat{j} \)
- \( -3 \hat{i} + \hat{j} \)
- \( 3 \hat{i} - \hat{j} \)
- \( -2 \hat{i} + 2\hat{j} \)
- \( -3 \hat{i} - \hat{j} \)
Pembahasan:
Proyeksi vektor \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) addalah \( \vec{p} \), sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} |\vec{p}| = \frac{\vec{a} \cdot b}{|b|} \Leftrightarrow |\vec{p}| &= \frac{ (-4x, 2) \cdot (3,x) }{ \sqrt{3^2+x^2} } \\[8pt] &= \frac{(-4x)(3)+(2)(x)}{\sqrt{9+x^2}} \\[8pt] &= \frac{-12x+2x}{\sqrt{x^2+9}} = \frac{-10x}{\sqrt{x^2+9}} \end{aligned}
Dari soal diketahui \( \alpha \) adalah sudut yang dibentuk oleh \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) dan \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \), sehingga kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \cos \alpha = \frac{|\vec{p}|}{|\vec{a}|} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} &= \frac{ \displaystyle \frac{-10x}{\sqrt{x^2+9}}}{ \sqrt{(-4x)^2+2^2} } \\[8pt] \frac{1}{\sqrt{2}} &= \frac{ \displaystyle \frac{-10x}{\sqrt{x^2+9}}}{ \sqrt{16x^2+4} } \Leftrightarrow \sqrt{16x^2+4} = \frac{-10x}{\sqrt{x^2+9}} \cdot \sqrt{2} \\[8pt] 16x^2+4 &= \frac{100x^2}{x^2+9} \cdot 2 \Leftrightarrow 4x^2+1 = \frac{50x^2}{x^2+9} \\[8pt] 50x^2 &= (4x^2+1)(x^2+9) \\[8pt] 0 &= 4x^4+36x^2+x^2+9-50x^2 \\[8pt] 0 &= 4x^4-13x^2+9 \\[8pt] 0 &= (4x^2-9)(x^2-1) \\[8pt] 0 &= (2x-3)(2x+3)(x+1)(x-1) \\[8pt] x &= \frac{3}{2}, \ x = - \frac{3}{2}, \ x = -1, \ \text{dan} \ x = 1 \end{aligned}
Karena syarat \(x\) adalah bulat positif, maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x=1\). Untuk \(x=1\), maka vektor \( \vec{a}=-4\hat{i}+2\hat{j} \) dan \( \vec{b}=\hat{i}+\hat{j} \) sehingga vektor \(\vec{p}\) atau hasil proyeksi vektor \( \vec{a} \) pada \( \vec{b} \) dapat dicari sebagai berikut:
\begin{aligned} \vec{p} &= \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{b}|^2 } \right) \cdot \vec{b} = \left( \frac{ (-4,2) \cdot (3,1)}{ \left( \sqrt{3^2+1^2} \right)^2 } \right) \cdot (3,1) \\[8pt] &= \left( \frac{ (-4)(3)+(2)(1)}{ 9+1 } \right) \cdot (3,1) \\[8pt] &= \left( \frac{-12+2}{10} \right) \cdot (3,1) = \frac{-10}{10} \cdot (3,1) \\[8pt] &= (-1)(3,1) = (-3, -1) \\[8pt] &= -3 \hat{i} - \hat{j} \end{aligned}
Jawaban E.